Математична модель: етапи проектування

Математична модель: етапи проектування

З середини минулого століття в різні області діяльності людини стали входити ЕВМ і математичні методи. Стали з'являтися нові дисципліни такі, як математична економіка, математична лінгвістика, математична хімія та інші, предметом вивчення яких були математичні моделі явищ і об'єктів, а також методи їх дослідження.

Математична модель - це приблизний опис математичною мовою об'єктів або явищ реального світу. Основною метою моделювання виступає дослідження даних об'єктів і прогнозування результатів майбутніх спостережень. Крім цього моделювання є і методом пізнання навколишнього середовища, світу, який дає можливість управління.

Використання математичного моделювання незамінне у випадках, коли з різних причин важко або неможливо провести натуральний експеримент. Наприклад, складно перевірити, чи вірна та чи інша космологічна теорія, чи вивчити наслідки ядерного вибуху. Але все це можна побачити на комп'ютері, попередньо побудувавши математичну модель.

Математична модель: етапи проектування

По-перше, проводиться побудова моделі. Для цього розглядають деяке явище природи, економічний план, конструкцію, виробничий процес або інший нематематичний об'єкт. Спочатку визначають особливості явищ і зв'язки між ними на якісному рівні. Далі отримані залежності переводять у формульний вигляд або будується математична модель. Дана стадія є найскладнішою.

На другому етапі виконують вирішення математичного завдання, сформульованого на підставі моделі. Тут підвищену увагу приділяють розробці численних методів і алгоритмів вирішення завдання за допомогою ЕВМ, які дозволяють отримати за допустимий час результат з необхідною точністю.

На наступному етапі необхідна інтерпретація слідств, що випливають з моделі, переклад результатів з математичної мови у вигляд, прийнятий у галузі, що вивчається.

Потім здійснюють перевірку адекватності отриманої моделі, з'ясовують, чи відповідають результати слідствам у межах заданої точності.

 На заключному етапі виробляють модифікацію моделі. Її або ускладнюють для більшої адекватності дійсності або спрощують, щоб досягти прийнятного практичного рішення.

Класифікація математичних моделей

Існують різні критерії для поділу математичних моделей на групи. Так, за характером вирішуваних проблем роблять поділ на структурні та функціональні моделі. При цьому характеризуючі об'єкт або явище величини виражаються кількісно.

Структурна математична модель представляється у вигляді системи різного типу рівнянь (алгебраїчних, диференційних), які встановлюють між вивченими величинами кількісні залежності. При цьому розглядають як величини як незалежні змінні, так і функції, утворені від них.

Функціональні моделі характеризують складні об'єкти, що складаються з декількох окремих елементів, між якими встановлені деякі зв'язки. Зазвичай дані зв'язку складно або неможливо виміряти кількісно. Для їх вивчення використовують теорію графів, математичних об'єктів, які представляють безліч точок у просторі або на площині.

За характером результатів прогнозування та вихідних даних моделі поділяють на ймовірнісні статичні та детерміновані. Перший вид заснований на зібраних статистичних даних, а отримані з їх допомогою прогнози носять ймовірнісний характер.

До прикладів математичних моделей можна віднести завдання на політ снаряда, транспортні та інші завдання.