Взаємне розташування площин: потрібні відомості

Взаємне розташування площин: потрібні відомості

Площиною називається почесний геометричний об 'єкт. Він є складовою частиною всіх багатогранників. Розгляньмо у статті з математичної точки зору різні варіанти взаємного розташування площин у просторі.

Що називають площиною?

Кожна людина знайома з цим поняттям, оскільки при вирішенні побутових завдань вона часто стикається з ним. Так, говорять про площину стіни, дошки, металевого листа і так далі. У математиці під цим терміном розуміють такий об 'єкт, який задовольняє наступним ознакам:


  • Він складається з нескінченного числа точок.
  • Якщо з 'єднати кожну точку по черзі з усіма іншими, то вийде нескінченний набір векторів, причому всі вони будуть перпендикулярні деякому одному вектору. Останній називається нормаллю до площини.

Приклад площини в тривимірному просторі наведено нижче на малюнку.

Рівняння площини

Перш ніж відповідати на питання, яке взаємне розташування площин, необхідно привести математичні вирази, що задають розглянутий геометричний об 'єкт. Почнемо із загального рівняння, яке може бути подане у такій формі:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Великі латинські літери тут являють собою прості числа. Маленькі літери - це сукупність координат всіх точок, які задовольняють даному рівнянню (що лежать в площині точки).

Наведений вираз зручно використовувати для вирішення багатьох геометричних завдань, оскільки в ньому міститься інформація про нормальний вектор n¯. Координатами n¯ є числа A, B і C.

Наступним рівнянням площини, яке застосовують для вирішення завдань, є векторне. Воно виглядає наступним чином:


(x, y, z) = (x0, y0, z0) + α*(a1, b1, c1) + β*(a2, b2, c2).

Наведений вираз виглядає дещо громіздким, проте в ньому немає нічого складного. Перше складене в правій частині рівності - це координати точки, що лежить у площині, два наступних доданків - це координати векторів, що лежать у площині. Параметри порожніх і незалежних і приймають довільні значення.

Векторне рівняння зручно застосовувати, якщо необхідно отримати параметричний вираз для площини. Крім того, нескладно обчислити координати нормалі до площини. Для цього слід помножити векторно два заданих вектори.

Нарешті, ще одним важливим видом рівняння площини є так званий вираз у відрізках. Воно виглядає так:

x/p + y/q + z/l = 1.

Тут латинські літери p, q і l, що стоять у знаменниках, є відрізками, які відсікають площину під час перетину прямокутних осей координат. Звідки і відповідна назва цього виду рівняння. Очевидно, що його зручно застосовувати, якщо необхідно зобразити графічно об 'єкт.

Нескладно показати, що всі види рівнянь перетворюються один на одного.


Взаємне розташування площин

Площина - це феєрний об 'єкт. У тривимірному просторі існує всього два принципово відрізняються способу взаємного розташування двох площин:

  • вони паралельні один до одного;
  • вони перетинаються.

Дійсно, якщо площини не мають спільних точок, значить, вони ніколи не перетинаються, тобто є паралельними. Навпаки, якщо розглянуті об 'єкти мають хоча б одну загальну точку, значить, вони перетинаються. Зазначимо, що геометричним об 'єктом, що утворюється в результаті перетину площин, завжди є пряма лінія.

Паралельні площини

Тепер розгляньмо детальніше кожен із названих вище випадків. Припустимо, що в загальній формі задані наступні дві площини:

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0;

A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.


Як зрозуміти, чи є вони паралельними? Зробити це дуже просто. Досить згадати про нормальні вектори. Якщо дві площини паралельні між собою, значить, їх нормалі також паралельні. Випишемо координати нормальних векторів до зазначених площин. Маємо:

n1¯ = (A1, B1, C1);

n2¯ = (A2, B2, C2).

Достатньою умовою паралельності n1¯ і n2¯ є можливість завдання одного з них через інший. Математично це записується так:

n1¯ = k*n2¯.


Де k - деяке (в тому числі негативне) число. Якщо одну нормаль неможливо виразити шляхом множення координат іншою на число, то такі площини не будуть паралельними.

Приватним випадком паралельності площин є їх повний збіг один з одним. Тоді повинні виконуватися такі умови:

n1¯ = k*n2¯ и D1 = k*D2.

Приклад паралельних площин у просторі наведено нижче.

Площини, що перетинаються, і кут між ними

Оскільки існує лише два варіанти взаємного розташування площин, то достатньо перевірити, чи є вони паралельними чи ні. У разі їх перетину часто виникає необхідність у визначенні відповідного кута. Згідно з визначенням, кутом між розглянутими геометричними об 'єктами є кут між їх нормалями.


Таким чином, вивчаючи питання взаємного розташування площин і кута між площинами, достатньо розрахувати скалярний твір векторів n1¯ і n2¯. Відповідна формула прийме вигляд:

θ = arccos(|(n1¯*n2¯)|/(|n1¯|*|n2¯|)).

Кут між площинами порожній завжди є гострим, оскільки у числнику стоїть модуль скалярного твору.

Слід зазначити приватний випадок, коли дві площини перетинаються під кутом 90o. Тоді достатньо обчислити скалярний твір нормальних векторів. Воно буде рівним нулю.

Пряма і площина

Коротко зупинимося на питанні взаємного розташування прямої і площини в просторі. У тривимірній системі координат найзручніше задавати площину у векторній формі. Вона має вигляд:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ*(a, b, c).

Тут вектор (a, b, c) називається напрямним для прямої. Далі будемо позначати його u¯.

Існує три способи відносного розташування розглянутих геометричних об 'єктів:

  • Вони паралельні. Для цього скалярний твір u¯ і нормалі n¯ площині має дорівнювати нулю. І жодна точка прямої не повинна належати площині.
  • Пряма лежить у площині. Скалярний твір u¯ і n¯ також дорівнює нулю. І всі точки прямої лежать в площині.
  • Вони перетинаються. У цьому випадку існує єдине число, що задовольняє систему рівнянь площини і прямої. Якщо пряма перетинає площину під прямим кутом, її напрямний вектор може бути виражений шляхом множення на деяку кількість вектора нормалі.

Приклад завдання

Закріпимо отримані знання на прикладі вирішення наступного завдання. Вказано дві площини такими рівняннями:

2*x - y + 4 = 0;

(x, y, z) = (0, 1 , 1 ) + α*(0 , 1, 1 ) + β*(2 , 0 , 1 ).

Визначте взаємне розташування площин.

Нормальний вектор для першої відомий. Він має такі координати:

n1¯ = (2, -1, 0).

Щоб визначити вектор n2¯, слід знайти твір векторів, що лежать у цій площині. Маємо:

n2¯ = [(0, 1, 1)*(2, 0, 1)] = (1, 2, -2).

Видно, що вектор n2¯ не може бути отриманий з вектора n1¯ шляхом множення на число. Цей факт говорить про те, що розглянуті площини перетинаються. Кут перетину можна розрахувати за наведеною вище формулою. Отримуємо:

(n1¯*n2¯) = ((2, -1, 0)*(1, 2, -2)) = (2 - 2 + 0 = 0.

Оскільки скалярний витвір дорівнює нулю, площини перетинаються під прямим кутом.