Деякі моменти про те, як виконується рішення нерівностей

Деякі моменти про те, як виконується рішення нерівностей

Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно від них відрізняються. Тому що до їх вирішення потрібен особливий підхід.


Властивості, які потрібні для знаходження відповіді

Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявний запис рівносильним. Велика їх частина схожа на те, що було в рівняннях. Але є й відмінності.

  • Функцію, визначену в ОДЗ, або будь-яке число можна додати до обох частин вихідної нерівності.
  • Подібним чином можливе множення, але тільки на позитивну функцію або число.
  • Якщо ця дія виконується з негативними функціями або числом, знак нерівності слід замінити на протилежний.
  • Функції, які є неотрицательными, можна зводити в позитивний ступінь.

Іноді рішення нерівностей супроводжується діями, які дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши область ОДЗ і безліч рішень.

Використання методу інтервалів

Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.

  1. Визначити область, де знаходяться допустимі значення змінних, тобто ОДЗ.
  2. Перетворити нерівність за допомогою математичних операцій так, щоб у його правій частині стояв нуль.
  3. Знак нерівності замінити на "=" і вирішити відповідне рівняння.
  4. На числовій осі відзначити всі відповіді, які вийшли під час рішення, а також інтервали ОДЗ. При суворій нерівності точки потрібно намалювати виколотими. Якщо присутній знак рівності, то їх належить зафарбувати.
  5. Визначити знак вихідної функції на кожному інтервалі, що вийшов з точок ОДЗ і ділить його відповідей. Якщо при переході через точку знак функції не змінюється, то вона входить у відповідь. В іншому випадку - виключається.
  6. Граничні для ТДЗ точки потрібно додатково перевірити і тільки потім включати чи ні у відповідь.
  7. Відповідь, яка виходить, потрібно записати у вигляді об 'єднаних безліч.

Трохи про подвійні нерівності

Вони використовують у записі відразу два знаки нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами відразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система з двох, коли вихідне розбите на частини. І в методі інтервалів вказуються відповіді від вирішення обох рівнянь.

Для їх вирішення також допустимо використовувати властивості, зазначені вище. З їх допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.

Як йдуть справи з нерівностями, в яких є модуль?

У цьому випадку рішення нерівностей використовує наступні властивості, причому вони справедливі для позитивного значення "а".

Якщо "х" приймає алгебраїчний вираз, то справедливі такі заміни:

  • |х| < a на -a < х < a;
  • |х| > a на х < -a або х > a.

Якщо нерівності нестрогі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з 'являється "=".

Як здійснюється вирішення системи нерівностей?

Це знання потрібно в тих випадках, коли дано таке завдання або є запис подвійної нерівності або в записі з 'явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які задовольняли б усім наявним у записі нерівностей. Якщо таких чисел немає, то система рішень не має.

План, за яким виконується рішення системи нерівностей:

  • вирішити кожне з них окремо;
  • зобразити на числовій осі всі інтервали і визначити їх перетину;
  • записати відповідь системи, яка і буде об 'єднанням того, що вийшло в другому пункті.

Як бути з дробовими нерівностями?

Оскільки під час їх вирішення може знадобитися зміна знака нерівності, то потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежна відповідь.

Вирішення дробових нерівностей теж використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:

  • Використовуючи описані властивості, надати дробу такий вигляд, щоб праворуч від знака залишився тільки нуль.
  • Замінити нерівність на "=" і визначити точки, в яких функція дорівнює нулю.
  • Позначити їх на координатній осі. При цьому числа, що отримали в результаті розрахунків у знаменнику, завжди будуть виколоті. Всі інші - виходячи з умови нерівності.
  • Визначити інтервали символів.
  • У відповідь записати об 'єднання тих проміжків, знак яких відповідає тому, який був у вихідній нерівності.

Ситуації, коли в нерівності з 'являється ірраціональність

Іншими словами, у записі присутній математичний корінь. Оскільки в шкільному курсі алгебри більша частина завдань йде для квадратного кореня, то саме він і буде розглянутий.

Рішення ірраціональних нерівностей зводиться до того, щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильні вихідному.

Вихідна нерівність

умова

рівносильна система

√ n(х) < m(х)

m (x) менше або дорівнює 0

рішень немає

m (x) більше 0

n (x) більше або дорівнює 0

n(х) < (m(х))2

 

√ n(х) > m(х)

 

m (x) більше або дорівнює 0

n(х) > (m(х))2

або

n (x) більше або дорівнює 0

m (x) менше 0

   

√n(х) ≤ m(х)

m (x) менше 0

рішень немає

m (x) більше або дорівнює 0

n (x) більше або дорівнює 0

n(х) ≤ (m(х))2

 

√n(х) ≥ m(х)

 

m (x) більше або дорівнює 0

n(х) ≥ (m(х))2

або

n (x) більше або дорівнює 0

m (x) менше 0

   

√ n(х) < √ m(х)

 

n (x) більше або дорівнює 0

n (x) менше m (x)

√n(х) * m(х) < 0

 

n (x) більше 0

m (x) менше 0

√n(х) * m(х) > 0

 

n (x) більше 0

m (x) більше 0

√n(х) * m(х) ≤ 0

 

n (x) більше 0

m(х) ≤0

або

n (x) дорівнює 0

m (x) - любе

   

√n(х) * m(х) ≥ 0

 

n (x) більше 0

m(х) ≥0

або

n (x) дорівнює 0

m (x) - любе

   

Приклади вирішення різних видів нерівності

Для того, щоб додати наочності до теорії про вирішення нерівностей, нижче наведено приклади.

Перший приклад. 2х - 4 > 1 + х

Рішення: для того щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Вона утворена з лінійних функцій, тому визначена при всіх значеннях змінної.

Тепер з обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х) > 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні додані нерівність прийме такий вид: х - 5 > 0.

Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: х = 5.

Тепер цю точку з цифрою 5, потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшла після перетворень. Після розрахунків виходить -7 > 0. під дугою інтервалу потрібно підписати знак мінуса.

На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1 > 0. Під дугою підписано знак "+". Цей другий інтервал і буде відповіддю нерівності.

Відповідь: х лежить в інтервалі (5;

Другий приклад. Потрібно вирішити систему двох рівнянь: 3х + 3-2х + 1 і 3х - 2-4х + 2.

Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить в області будь-яких чисел, оскільки дані лінійні функції.

Далі діяти потрібно поетапно. Спочатку перетворити першу з нерівностей і прирівняти її до нуля. 3х + 3 - 2х - 1 = 0. Тобто х + 2 = 0. Таким чином, х дорівнює -2.

Друга нерівність прийме вигляд такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 = 0. З нього виходить значення для змінної, рівне -4.

Ці два числа потрібно відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність нестрога, то всі точки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде вибрано число -5. Перша нерівність дасть значення -3, а друга 1. Значить, цей проміжок не входить у відповідь.

Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому і в другому виходить значення -1. Значить, під дугою "-".

На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і потрібно підставити і знайти значення нерівностей. У першому з них виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок теж потрібно виключити з відповіді.

З трьох інтервалів рішенням нерівності є тільки один.

Відповідь: х належить [-4; -2].

Третій приклад. |1 - х| > 2 |х - 1|.

Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, в яких функції звертаються в нуль. Для лівого цим числом буде 2, для правого - 1. їх потрібно відзначити на промені і визначити проміжки знакопостійства.

На першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності приймає позитивні значення, а з правої - від 'ємні. Під дугою потрібно записати поруч два знаки "+" і "-".

Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції приймають позитивні значення. Значить, під дугою два плюси.

Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція - негативна, права - позитивна.

З урахуванням отриманих знаків потрібно обчислити значення нерівності для всіх проміжків.

На першому виходить така нерівність: 2 - х > - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою в другій нерівності вийшов через те, що ця функція негативна.

Після перетворення нерівність виглядає так: х > 0. Воно відразу дає значення змінній. Тобто з цього інтервалу у відповідь піде тільки проміжок від 0 до 1.

На другому: 2 - х > 2 (х - 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше нуля. Його нулем буде значення х = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що х повинен бути менше цього числа. Отже, цей інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.

Останній дає такий запис нерівності: - (2 - х) > 2 (х - 1). Його перетворення призводить до такого: -х > 0. Тобто рівняння вірне при х меншому нуля. Це означає, що на шуканому проміжку нерівність не дає рішень.

На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідну нерівність. Виходить: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.

Відповідь: х лежить у проміжку (0; 4/3).