Чотири формули, за якими можна обчислити площу ромба. Властивості ромба

Чотири формули, за якими можна обчислити площу ромба. Властивості ромба

Ромб - це особлива фігура в геометрії. Завдяки його особливим властивостям існує не одна, а кілька формул, за допомогою яких обчислюється площа ромба. Що це за властивості і які найбільш поширені формули для пошуку площі цієї фігури існують? Давайте розберемося.

Яка геометрична фігура називається ромбом

Перш ніж з 'ясувати, чому рівна площа ромба, варто дізнатися, що ж це за фігура.

Ромбом з часів Євклідової геометрії називається симетричний чотирикутник, всі чотири сторони якого є рівними між собою за довжиною і попарно паралельними.

Походження терміну

Назва цієї фігури прийшла в більшість сучасних мов з грецької, через посередництво латині. "Прабатьком" слова "ромб", стало грецьке існуюче ῥόμβος (бубен). Хоча жителям двадцятого століття, які звикли до круглих бубн, важко уявити їх іншої форми, але в еллінів ці музичні інструменти традиційно виготовлялися не круглої, а ромбовидної форми.

У більшості сучасних мов цей математичний термін вживається, як і в латині: rombus. Однак в англійській мові іноді ромби називають diamond (алмаз або діамант). Таке прізвисько дана фігура отримала через свою особливу форму, що нагадує дорогоцінний камінь. Як правило, подібний термін використовують не для всіх ромбів, а тільки для тих, у яких кут перетину його двох сторін дорівнює шістдесяти або сорока п 'яти градусам.

Вперше ця фігура була згадана в працях грецького математика, який жив у першому столітті нової ери - Герона Александрійського.

Які властивості має ця геометрична фігура

Щоб знайти площу ромба, в першу чергу потрібно знати, якими особливостями володіє дана геометрична фігура.

  • Як уже було сказано у визначенні ромба, він є чотирикутником. А з тієї причини, що його протилежні сторони попарно є паралельними між собою, ромб також може іменуватися паралелограмом, а значить, на нього поширюється більшість властивостей цієї фігури.
  • Обидві діагоналі ромба в точці свого перетину рівномірно діляться надвоє. А через те, що перетинаються вони під кутом в дев 'яносто градусів, діагоналі ділять фігуру на 4 трикутники прямокутних.
  • У будь-якому ромбі діагоналі ділять його кути надвоє, будучи одночасно їх бісектрисами.
  • Якщо кожну з двох діагоналів ромба звести в ступінь квадрата, то їх сума дорівнює виробленню квадрата сторони цієї фігури і числа чотири.
  • Якщо з 'єднати лініями середини чотирьох сторін ромба, отримана фігура виявиться прямокутником.
  • Якщо в ромб (незалежно від кутів) вписано коло, тоді її центральна точка збігається з центром перетину діагоналів.
  • Діагоналі в ромбі стикаються з осями його симетрії під кутами дев 'яносто градусів.
  • Оскільки всі сторони ромба ідентичні між собою за довжиною, його периметр обчислюється за формулою Р = 4 х К (К - це довга однієї зі сторін).

За яких умов паралелограм є ромбом

Як відомо, кожен ромб є паралелограмом, але при цьому не всякий паралелограм - це ромб. Щоб точно стверджувати, що представлена фігура дійсно є ромбом, а не простим паралелограмом, вона повинна відповідати одній з трьох основних ознак, що виділяють ромб. Або всім трьом відразу.

  1. Діагоналі паралелограма перетинаються під кутом дев 'яносто градусів.
  2. Діагоналі поділяють кути надвоє, виступаючи в якості їх біссектріс.
  3. Не тільки паралельні, а й суміжні сторони мають однакову довжину. У цьому, до речі, одна з основних відмінностей між ромбом і паралелограмом, оскільки у другої фігури однакові за довжиною лише паралельні сторони, але не суміжні.

За яких умов ромб є квадратом

За своїми властивостями в окремих випадках ромб одночасно може ставати квадратом. Щоб наочно підтвердити це твердження, достатньо просто повернути квадрат у будь-який бік на сорок п 'ять градусів. Фігура, що вийшла, виявиться ромбом, кожен з кутів якого дорівнює дев 'яноста градусам.

Також, щоб підтвердити, що квадрат є ромбом, можна зіставити ознаки цих фігур: в обох випадках всі сторони рівні, а діагоналі є біссектрисами і перетинаються під кутом в дев 'яносто градусів.

Як дізнатися площу ромба за допомогою його діагоналей

У сучасному світі в інтернеті можна знайти практично всі матеріали для виконання необхідних розрахунків. Так, існує маса ресурсів, оснащених програмами для автоматичного обчислення площі тієї чи іншої фігури. Причому, якщо (як у випадку з ромбом) є кілька формул для цього, то є можливість вибирати, який з них найзручніше буде скористатися. Однак, перш за все, необхідно самим вміти обчислювати площу ромба без допомоги комп 'ютера і орієнтуватися у формулах. Для ромба їх існує чимало, але найвідоміші з них чотири.

Одним з найпростіших і найпоширеніших способів дізнатися площу цієї фігури, якщо є інформація про довжину його діагоналей. Якщо у завданні є ці дані, у такому випадку можна застосувати наступну формулу для знаходження площі: S = КМ x LN/2 (КМ і LN - це діагоналі ромба KLMN).

Можна перевірити достовірність цієї формули на практиці. Припустимо, у ромба KLMN довжина однієї його діагоналі КМ - 10 см, а другої LN - 8 см. Тоді підставляємо ці дані в зазначену вище формулу, і отримуємо наступний результат: S = 10 х 8/2 = 40 см2.

Формула для обчислення площі паралелограма

Існує й інша формула. Як було зазначено вище у визначенні ромба, він є не просто чотирикутником, але і паралелограмом, і володіє всіма особливостями даної фігури. У такому випадку для знаходження її площі цілком доцільно використовувати формулу, що застосовується для паралелограма: S = KL x Z. У даному випадку KL - це довгий бік паралелограма (ромба), а Z - це довга висоти, проведеної до даної сторони.

В окремих завданнях довжина сторони не надана, зате відомий периметр ромба. Оскільки вище була вказана формула його знаходження, з її допомогою можна дізнатися і довжину сторони. Отже, периметр фігури - 10 см. Довжину сторони можна дізнатися, інвертувавши формулу периметра і розділивши 10 на 4. Результатом виявиться 2,5 см - це і є шукана довжина боку ромба.

Тепер варто спробувати підставити це число у формулу, знаючи, що довга висоти, проведеної до сторони, також дорівнює 2,5 см. Тепер спробуємо поставити ці значення у вищезгадану формулу площі паралелограма. Виходить, що площа ромба дорівнює S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.

Інші способи обчислення площі ромба

Ті, хто вже освоїли синуси і косинуси, можуть використовувати для знаходження площі ромба формули, що містять їх. Класичним прикладом служить наступна формула: S = КМ2 х Sin KLM. У даному випадку площа фігури дорівнює твору двох сторін ромба, помноженому на синус кута між ними. А оскільки в ромбі всі сторони однакові, то простіше відразу зробити одну сторону в квадрат, як і було показано у формулі.

Перевіряємо на практиці цю схему, причому не просто до ромба, а до квадрату, у якого, як відомо, всі кути прямі, а значить, дорівнюють дев 'яносто градусам. Наприклад, одна зі сторін дорівнює 15 см. Також відомо, що синус кута 90 ° дорівнює одиниці. Тоді, згідно з формулою, S = 15 х 15 х Sin 90 ° = 255х1 = 255 см2.

Крім перерахованих вище, в окремих випадках використовується ще одна формула, з використанням синуса для визначення площі ромба: S = 4 х R2/Sin KLM. У цьому варіанті використовується радіус вписаної в ромб кола. Він підноситься в ступінь квадрата і множиться на чотири. А весь результат ділитися на синус кута, прилеглого до вписаної фігури.

Як приклад для простоти обчислень візьмемо знову квадрат (синус його кута завжди дорівнює одиниці). Радіус вписаного в нього кола - 4,4 см. Тоді площа ромба обчислюватиметься так: S = 4 х 4,42/Sin 90 ° = 77,44 см2

Наведені вище формули знаходження радіусу ромба - далеко не єдині у своєму роді, однак вони є найбільш простими для розуміння і проведення обчислень.